数Ⅰ関数 ~数学がニガテなあなたに寄り添う、もう一度やり直す高校数学~

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<関数とグラフの意味>

2つの変数x、yがあり、xの値を定めると、yの値がただ一つ定まるとき、yはxの関数であると言います。

その関数の名前をfとすると、y=f(x)という関数記号で表現されます。このfは、functionの頭文字です。

xのとりうる値の範囲を、関数f(x)の定義域と言います。

また、xが定義域全体を動くときにyがとる値の範囲を、その関数の値域と言います。

(例)2次関数y=x^2(「x^2」は、xの二乗、という意味です)

関数をf(x)と置くと、f(x)=x^2 と表されます。

f(2)=2^2=4

関数は、座標平面上のグラフとして表現されます。

関数y=f(x)のグラフとは、点(x,f(x))全体で造られる図形を言います。

(例)1次関数y=2x-1のグラフ

値域に最大の値があるときに、その値を関数の最大値と言います。

また、値域に最小の値があるときに、その値を関数の最小値と言います。

(例)1次関数y=-2x+1(-2≦x≦3)の値域を求め、最大値、最小値を求めてみましょう。

値域 -5≦y≦5

最大値 y=5

最小値 y=-5

<2次関数y=a(x-p)^2+qのグラフ>

2次関数y=a(x-p)^2+qのグラフは、関数y-ax^2のグラフを、x軸方向へp、y軸方向へqだけ平行移動して得られます。

このことから、以下のことが言えます。

頂点:(p,q)、軸の方程式:x=p

ちなみに方程式とは、まだわかっていない数を表す文字を含む式の事です。

以下のことを関数f(x)に一般化してみましょう。

関数y=f(x)のグラフをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動したグラフを表す関数は、y=f(x-p)+qである。

<2次関数y=ax^2+bx+cのグラフ>

2次式ax^2+bx+cをa(x-p)^2+qの形に変形することを、平方完成と言います。

平方完成は、二次関数y=ax^2+bx+cの頂点を求められるので、2次関数のグラフを描きたいときに便利な方法なのです。

2次関数y=ax^2+bx+cのグラフは、y=ax^2のグラフを平方完成したグラフになります。

その頂点と軸は次のようになります。

<解の公式>

2次方程式をax^2+bx+c=0の形にして、公式に当てはめれば、その2次方程式を解くことが出来ます。

2次方程式ax^2+bx+=0の解は、

現在、私たちが知っている形の二次方程式の解の公式が書物に登場するのは、デカルトが書いた本なのだそうです。

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